Posiblemente hermano menor de Antonio Draghi. Fue traído a Londres en los años 1660 por el rey Carlos II, que estaba tratando, sin éxito, de establecer la ópera italiana en Inglaterra. Permaneció en ese país durante el resto de su vida. Se instaló en Londres, y en 1673 se convirtió en maestro de música de las Princesas Mary y Anne y organista de la capilla católica de Catalina de Braganza, esposa de Carlos II, en Somerset House. Un artículo publicado el 12 de febrero de 1667 hace referencia a una obra italiana para la ópera compuesta por "The Italian Signor Baptista...", resaltando el hecho de que era autor de la letra y la música y que además cantó él mismo de memoria toda la obra.

Edición discográfica con el "Trio Sonata en Sol menor" de Giovanni Battista Draghi

En 1673 llegó a ser principal organista de la reina consorte Catherine de Braganza en Somerset House, como sucesor de Matthew Locke, quien sin embargo permaneció allí en semi retiro hasta su muerte cuatro años más tarde.

En 1684 tomó parte en lo que se conoce como la Batalla de los Órganos. Fue contratado por el maestro fabricante de órganos Renatus Harris para demostrar la superioridad de su órgano cuando Harris estaba tratando de obtener el contrato para construir el nuevo órgano para la Iglesia del Templo. El rival de Harris, Bernard Schmidt, que llegó a ser conocido como "Father Smith", sobornó a los organistas y compositores John Blow y Henry Purcell para probar su órgano y ganó el concurso.

Se trasladó a la capilla privada de James II en 1687. Compuso “Dryden’s Ode” para el Día de Santa Cecilia en 1687, contribuyó a la música de "Wonders in the Sun” de Durfey en 1706, y compuso muchas lecciones para clave y canciones. A fines del siglo XVII participó, junto con varios compositores ingleses, en la musicalización de la semi ópera (llamada así por no tener una trama definida, sino ser una sucesión de escenas mitológicas griegas) "La Tempestad", con libreto basado en la obra homónima de William Shakespeare. El Rey Guillermo III concedió una pensión a Draghi en 1698.

Importante por su participación en el establecimiento de la "seriedad y gravedad" del estilo italiano en un momento en que la influencia francesa era todavía fuerte en Inglaterra, compuso principalmente canciones (muchas de teatro) y música instrumental, incluyendo seis colecciones de lecciones de clavicordio (h.1707).